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做几何题有哪些技巧? <#21---->

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几何一直不好,开始老师还天天督促我,后来发现我真的好不了了,就放弃了,我也试过认真听,但没用。

中学时代我的几何非常好,从初一到高三,从班里的小测验一直到奥数国家集训队里的考试,印象中几何题从没失过手。

我是初一开始学的几何,父亲亲自手把手教的,用过很多书,很多记不得了,就记得一本叫“几何证题法”,严济慈老先生写的。

平面几何技巧性比较高,那时主要就是不停的做题,自己喜欢数学,从全俄数学竞赛,全苏数学竞赛,到IMO,题太多了,不懂就问父亲,算是有些家学。

不过上大学以后,我渐渐认识到,中学的那些几何,不管多有技巧,包括相对难一点的反演变换,射影变换,都是很初等的。

初等不意味简单,而是说,依赖特定技巧去解决特定问题。从这个意义上说,其实做那么多几何题,意思不大。

比如有一道很有趣的几何题(费尔马点):三角形里找一个点,使其到三个顶点的连线长度总和最小。这题就需要想出一个特别的技巧,把该点和某一边构成的三角形外旋60度,把题中的三条线段转换成起点终点固定的一条折线,从而知道最短应该是折线重合于直线时。

这是个很好的例子,需要特定技巧,如果你想不出来呢?其实谁能保证想出来呢?再聪明都不能保证,实际上有些几何题2200多年前古希腊人就提出来了,但2000年里都没人想出所需要的“特定技巧”。比如古希腊三大尺规作图问题。

这其实揭示了古典几何的缺陷,也是我对问题的回答,对几何的题海战术,适可而止,不管你死记硬背或融会贯通多少技巧,都不能保证解决所有问题,而且但一定程度以后,对你自己的数学水平没有多少帮助。

法国数学家和哲学家笛卡尔是第一个深彻认识到这个问题,他痛恨这个需要“特定技巧”的学科,所以他创造了“笛卡尔坐标系”,就是解析几何,这是几何学,甚至整个数学,从初等走向高等的关键一步。

“一切问题都是数学问题,

一切数学问题都是代数问题,

一切代数问题都是方程求解问题”

请牢记并深刻体会笛卡尔的名言。如果你的初等几何已经有一个还不错的基础,请不要过于迷恋那些技巧。请记住,从代数入手,才是能让你的几何水平更上一层楼的不二法门。

很多人听说过高斯19岁时找到17等分圆的方法的传奇故事。但有多少人真正了解他的解法呢?

实际上高斯童鞋一条辅助线也没画,一个图也没做,他解决这个困扰数学家两千年的难题的方法就是,完全从代数入手。

高斯首先认识到本题要害在于求解x^k=1(k=17)的复数根,进一步认识到如果k是一个费尔马数(2^(2^n)+1)并且是个素数的时候(比如k=3,5,17,257,65537),其方程复根可以用加减乘除和√(平方根)计算出来。而这5种运算都可以通过尺规作图实现。

所以高斯在解决这个几何问题时,根本没画图,甚至不需要step by step的步骤。

这是数学界第一次见识到代数方法法在解决几何问题时的巨大威力,原则上几乎不依赖任何“tricks”。

后来伽罗华深受高斯方法的影响,创立了抽象代数,并秒杀了前述的古希腊三大尺规作图问题,三等分任意角,化圆为方,倍立方,都是不可能的。各位想想,如果数学家局限在几何方法里,如何证明这三个猜想“不可能”?

所以我对年轻学习者的建议是,技巧适可而止,“大巧不工”才是高等境界,有一定几何基础后应该先去学习“解析几何”,重点是掌握其把几何问题代数化的思想精髓。

然后应该去学习“线性代数”,线性代数和几何关系非常密切,向量和矩阵是解决几何问题特别是高维几何问题的不二利器。

再往后就不要局限在“欧几里得几何空间”里了,伪欧几何是比较简单的,但很有用,要理解爱因斯坦的狭义相对论的话,只要掌握了伪欧几何(闵可夫斯基空间)的基本知识,就会发现狭义相对论的诸多结论都是显而易见的。

再往后,非欧几何,微分几何(广义相对论),代数几何,算术几何…

记住:技巧很重要,但去技巧化才是数学发展的方向。

加强基础

无论是平面几何还是立体几何,它们的特征是定理好像比较简单,但是题目变化比较大,特别是那些需要作辅助线的题目,更是难把握.我觉得要从最基础的题型开始学习,例如三角形全等,最基础的是练习去找全等三角形的条件、书写证明的步骤,接着挑战二次全等,同样是全等条件和步骤书写.对于一些特殊的平面图形,如等腰三角形、直角三角形等,它们的性质比较多,很多情况下需要用到这些性质.

逻辑推理是几何题目的基本要求,无论是书写步骤还是找条件,都需要分析能力.分析方法主要包含以下几点:

1.认真审题,认真研究每个已知条件的作用,把条件当作线索往下再推导几步;

2.通过结论逆推,很多题目找不到方向可以从后面往前面推导;

3.勇于试错,很多情况下,并不是一下就能把题目做对的,中间可能要经历很多试错的过程.试错不可避免.

除了这些,我觉得还要掌握一些常见辅助线的作法.例如在全等三角形证明中,倍长中线法、截长补短法等;还有一些特殊平面图形的性质有关的辅助线,这些题目还是得多加练习.积累一定的经验,做新题目时才不会太慌张.

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